viernes, 29 de julio de 2011

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo. Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Historia:
El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.
El primer uso de la función seno (sin(·)) aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, y el alumno de éste, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas como series infinitas presentadas en las llamadas "Fórmulas de Euler".
La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.


Conceptos :
Seno : Razón entre el cateto opuesto al angulo y a la hipotenusa .

Coseno : Razón entre el cateto adyacente al angulo y a la hipotenusa .

Tangente: Razón entre el cateto opuesto al angulo y al cateto adyacente .

Cotangente : Razón entre el cateto adyacente al angulo y el cateto apuesto .

Secante : Razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al angulo .

Cosecante : Razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al angulo


 Igualdades trigonométricas

Curvas del seno y la cosecante
Curvas del coseno y la secante
Curvas de la tangente y la cotangente

jueves, 28 de julio de 2011

Introduccion

Consideremos un ángulo determinado y sobre dicho ángulo trazamos rectas paralelas. Los TRIÁNGULOS  que se forman son SEMEJANTES pues tienen un ángulo igual y dos lados proporcionales, según Thales, lo que implica que SUS LADOS CORRESPONDIENTES son PROPORCIONALES .
Como has podido comprobar, para un mismo ángulo y un conjunto de segmentos paralelos entre sí, el  valor de la proporción entre segmentos se mantiene constante. Para un nuevo conjunto de paralelas, el valor de las seis proporciones no se modifica, aunque se modifiquemos los segmentos AA' y BB'. El valor de las proporciones SOLO DEPENDE DEL ÁNGULO.

Objetivos


OBJETIVOS
  • Introducción al concepto de razón trigonométrica y sus definiciones
  • Cálculo de razones trigonométricas de ángulos agudos
  • Aproximación a las relaciones entre razones trigonométricas
  • Introducción a la resolución de triángulos rectángulos

Marco teórico

Nivelación.
La nivelación tiene como fundamento medir distancias verticales directas o indirectas para hallar diferencia de nivel entre un punto de terreno o de construcciones.
Tipos de Nivelaciones Directas
Básicamente existen dos tipos de nivelaciones directas; que son las nivelaciones simples, siendo aquellas que consideran una posición instrumental, y las nivelaciones compuestas, que consideran mas de una posición instrumental.
Nivelaciones Simples
Nivelación Simple Longitudinal:
Los puntos se definen a lo largo de una recta, sin necesidad que dichos puntos pasen por esta línea, como en la figura.
Nivelación Simple Radial:
Es muy parecida a la anterior, pero la diferencia es que los puntos en este caso están distribuidos en un área y no en una línea recta, tal como lo indica la figura.
Composición de Nivelaciones simples
Nivelación Compuesta Longitudinal:
Esta nivelación. esta compuesta por dos o mas posiciones instrumentales; pero los puntos están distribuidos a lo largo de una recta, o dicho de otra manera, seria unir dos o mas nivelaciones longitudinales; tal como se indica en el recuadro.
Nivelación Compuesta Radial:
Esta nivelación al igual que la anterior, la constituyen dos o mas posiciones instruméntale, pero con la diferencia, que los puntos están distribuidos en un área, en otras palabras seria como tener unidas dos o mas nivelaciones radiales, como a continuación se observa
Nivelaciones Compuestas
Cabe destacar, que hay dos tipos de nivelaciones, al margen del tipo a emplear, que son tanto las nivelaciones abiertas, como las nivelaciones cerradas, especificando, que una nivelación abierta, será cuando no tiene comprobación, en otras palabras, consiste en partir de una cota conocida, para llegar a un punto de cota desconocida. Por el contrario, una nivelación cerrada, es aquella que se puede comprobar, ya que se parte de un punto con una cota conocida y posteriormente, luego de seguir un itinerario topográfico, se llagará a otra cota conocida, pudiendo ser el mismo punto.
Nivelación por Doble Posición Instrumental:
Consiste en hacer dos registros por diferencia, ya que para una serie de puntos, se llevaran dos series de posiciones instrumentales; tato una por la derecha, como otra por la izquierda, según el sentido de avance. De modo que cuando ambos desniveles están dentro de los rangos de tolerancia, se tomara el promedio de ellos como desnivel, de lo contrario habrá que realizar nuevamente las tomas de las cotas.
Nivelación por Miras Dobles:
Dicha nivelación consiste en usar dos miras; dónde dichas miras se ubican en el mismo punto, de tal forma que una de ellas se coloque invertida a la posición de la otra. De esa forma una vez realizada la lectura de ambas miras en el mismo punto, la suma de ambas lecturas, deberá ser la longitud de la mira; de lo contrario se deberá repetir dicha medición.
L1 L2 L
A B
Nivelación Reciproca:
Esta nivelación se utiliza cuando se están tomando lectura de lugares inaccesible, debiendo extremar la posición del nivel con respecto a las miras ya que se esta muy lejos de una y muy cerca de la otra, estas extremos pueden ser interiormente a las miras o exteriormente a estas, pero siempre conservando una línea recta.
Tipo de nivelación.
Hay tres métodos generales de nivelación:
  • Geométrica
  • Trigonométrica
  • Barométrica
Nivelación Geométrica o Directa ( por alturas ).
Permitiendo la determinación directa de las alturas de diversos puntos, al medir las distancias verticales con referencia a una superficie de nivel, cuya altura ya es conocida.
Nivelación Trigonométrica o Indirecta ( por pendientes ).
Se puede determinar con una cinta y un clisímetro o bien, un teodolito, al basar sus resoluciones en un triangulo rectángulo situado en un plano vertical, por lo que se toman medidas de distancias horizontales y ángulos verticales.
Nivelación Barométrica.
Se determina por medio de un Barómetro, puesto que la diferencia de altura entre dos puntos se puede medir aproximadamente de acuerdo con sus posiciones relativas bajo la superficie de la atmósfera, con relación al peso del aire, que se determina por el barómetro.
Medidas de distancias verticales:
Siendo, la diferencia de elevación entre dos puntos la distancia entre dos planos horizontales, ya sean reales o imaginarios, en los cuales están dichos puntos. Se observa, que las medidas de diferencias de nivel tienen mucho que ver, ya sea directa o indirectamente con las medidas de distancias verticales, debido a que éste conjunto de procedimientos realizados para tomar las medidas citadas, toma el nombre de nivelación. Considerando al nivel medio del mar al plano de referencia más empleado; Sin embargo para realizar una nivelación no es necesario relacionarse con esta consideración, puesto que un levantamiento, se hace referenciando a un plano cualquiera, con respecto a las cotas referenciadas. Si solo se desea la nivelación relativa de los puntos entre sí.
Errores en una Nivelación.
Instrumento descorregido
Hundimiento del trípode o de los puntos
Puntos de cambio mal ubicados
Error al no tener centrada la burbuja en el momento de leer, cosa que ocurre generalmente con instrumentos que tienen tornillo de trabajo.
Error por lectura en mira
Al golpear el trípode.
Faltar de los Niveladores.
Por malas anotaciones en el registro
Por lecturas en la mira y dictar mal un valor
por equivocaciones al leer numero enteros
por errores de calculo
Dependencias de los logros del trabajo.
Instrumento empleado
Escala
Precisión
Método empleado
Refinamiento empleado
Longitud de las visuales
Terreno
Medio ambiente.
Errores.
Hace tiempo se estudiaban los errores accidentales (errores aleatorios producidos por la falta de apreciación del observador y sensibilidad del nivel) y los errores sistemáticos (producidos por falta de reglaje en el instrumento y que se distribuyen según reglas matemáticas conocidas).
A raíz de las normas de calidad y su aplicación, los fabricantes de instrumentación topográfico-geodésica, nos ofrecen las características técnicas de la mencionada instrumentación en el cumplimiento de dichas normas. Esto nos obliga a replantearnos la teoría accidental y sistemática empleada hasta ahora.
Este trabajo pretende dar una visión de las normas de calidad en medición de alturas geométricas y una posible solución al cálculo de errores accidentales de los niveles, marcando los límites entre errores sistemáticos y errores accidentales.
Error de cierre
Es la diferencia entre la lectura inicial del punto de partida, considerando la cota en terreno, menos la cota de terreno del mismo punto al llegar y hacer el cierre; implicando un EC positivo o negativo.
Si este error de cierre escapa a la tolerancia, la nivelación se debe realizar nuevamente, de lo contrario, se deberán compensar esta mismas.
Errores sistemáticos.
No es mi intención hacer aquí una descripción exhaustiva de los errores sistemáticos, que todos tenemos presentes y que tan bien lo hizo G. Duberc, sólo comentar que conociendo la diferencia que podemos tener en un punto medio-punto extremo a causa de los errores accidentales, es de fácil aplicación calcular si el nivel está o no reglado.  Ver más>>>>>

Procedimiento

En primer lugar creamos el blog, y en el creamos una materia determinada.
En las entradas empezamos a crear los distintos subtitulos que la materia requiere. Ejemplo: Introduccion,objetivos, marco teorico, procedimiento,etc.
La ceracion de este blog es ayudar a la comp'rension de la materia y el tema a tratar.

Conclusiones

Se han logrado los objetivos y mas aun se ha aprendido mucho mas de lo requerido, considerando las tolerancias nombradas, los errores que no se debe cometer, las faltas comunes al nivelar, las compensaciones, entre otras.
RECOMENDACIONES
Para el método de Nivelación reciproca o punto extremo, se recomienda que el instrumento esté perfectamente corregido, de lo contrario saber el error constante de inclinación, para poder aplicar la debida corrección a las tomas.
Las patas de trípode, deben quedar lo suficientemente abiertas, para la estabilidad de éste, y los objetivos y/o objetos, deben observarse desde una posición conveniente y fácil.
Para obtener una posición firme en el suelo, se debe hacer presión con el pie a una pata del trípode.
Cuando el terreno es una pendiente, se debe poner una pata hacia arriba, y las otras hacia abajo.
La manera mas rápido de llevar la burbuja a su posición central, debería ser cuando se ha orientado el anteojo hacia dos tornillos de nivelación.
Para observar las miras se deben poner en un punto bien demarcado y definido, de un lugar estable.
Con este pequeño trabajo solo quisiera hacer una reflexión, la Norma tal cual se nos presenta es muy válida para comprobar la bondad de un nivel, pero no podemos estar realizando una observación para ver el error que tendríamos cada vez que cambie la distancia.
La utilización del error máximo al 99% (factor aplicable 2.5) o al 99.9% (factor aplicable 3.29) es cuestión de gustos, yo ya me he decantado por uno de ellos.

Bibliografia

  • Domínguez García Tejero, F. “Topografía General y Aplicada”(Madrid: Editorial

  • DossatS.A.,1989)

  • NormaISO17123

  • NormaISO12857

  • Cruz González, José Luis “Instrumentos Topográficos” (Jaén: Universidad de Jaén, 1995)